琴弦的振動(dòng)是怎樣的形式？聲音在空氣中的傳播速度如何計(jì)算？太陽的壽命大約還剩50億年？4月8日，《張朝陽的物理課》線下第二課開講，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽與來自北京各高校的物理學(xué)子及物理學(xué)愛好者們一起探討物理的奧秘。課堂上，他陸續(xù)講解了經(jīng)典波動(dòng)方程的推導(dǎo)與聲速的計(jì)算，之后又與現(xiàn)場(chǎng)同學(xué)交流探討了太陽內(nèi)部的核反應(yīng)、太陽壽命的估算，以及宇宙大爆炸理論的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)證據(jù)等物理問題。

推導(dǎo)經(jīng)典波動(dòng)方程 從琴弦振動(dòng)開始

本節(jié)線下課，張朝陽先介紹了琴弦振動(dòng)方程的推導(dǎo)。以琴弦初始位置建立x軸，弦的振動(dòng)方向?yàn)閡軸。采用平面運(yùn)動(dòng)模型并假設(shè)琴弦只能沿一個(gè)方向振動(dòng)，這樣就把三維問題簡(jiǎn)化成了二維問題。弦在某一時(shí)刻的位置用u(x,t)描述，它表示弦對(duì)平衡位置的偏離。

在課程中，假設(shè)弦的振動(dòng)比較微小，u(x,t)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1。假設(shè)琴弦在初始位置的質(zhì)量線密度為μ，考慮在區(qū)間(x,x+Δx)上琴弦的微元的運(yùn)動(dòng)。忽略重力，那么這部分微元只受到弦自身張力的作用。

推導(dǎo)過程中，暫且假設(shè)弦的張力T處處相等。需要說明的是，因?yàn)橄抑谎豼方向振動(dòng)，不沿x方向運(yùn)動(dòng)，所以微元受到的x方向的合力為零，于是張力在x軸上的分量Tx處處相等，而u方向的張力Tu不是處處相等的，從而T實(shí)際上不是處處相等的。不過，因?yàn)榻酉聛淼耐茖?dǎo)需要的是Tu，當(dāng)u(x,t)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1時(shí)，無論使用T還是Tx來估算Tu，最低階近似都是一樣的，所以可以假設(shè)T為常數(shù)。而當(dāng)u(x,t)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)不是小量時(shí)，則須使用Tx為常數(shù)來推導(dǎo)，此時(shí)依然能得到嚴(yán)格的波動(dòng)方程。

由于u(x,t)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，于是弦的切線傾角θ非常小，所以Tu約等于T乘以θ，而θ可以用u(x,t)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)來近似，于是微元受到的u方向的合力為：

利用牛頓第二定律，可得：

根據(jù)假設(shè)，T為常數(shù)，不依賴于x，對(duì)等式右邊的偏導(dǎo)數(shù)做關(guān)于x的泰勒展開，并在消去一個(gè)Δx后讓Δx趨向于0，最后得到：

這就是琴弦的波動(dòng)方程。由于時(shí)間關(guān)系，對(duì)于這個(gè)經(jīng)典的微分方程，現(xiàn)場(chǎng)并未對(duì)其求解過程進(jìn)行詳細(xì)計(jì)算。張朝陽直接寫出其通解的大致形式：

隨后，他對(duì)這個(gè)通解作了進(jìn)一步解釋。以其中的g(x-vt)為例，假如函數(shù)g(x)的最大值點(diǎn)在x0處，那么在t時(shí)刻，g(x-vt)的最大值點(diǎn)在x-vt=x0處，也就是x=x0+vt處，即最大值點(diǎn)在以速度v向右運(yùn)動(dòng)。換言之，g(x-vt)表示向右以速度v傳播的波。同理，f(x+vt)表示以速度v向左傳播的波。經(jīng)過這一番解釋，波動(dòng)方程中v的物理含義就清晰了，它代表波的傳播速度。

在這個(gè)例子的最后，他還簡(jiǎn)短地討論了兩端固定的琴弦的波動(dòng)方程。它本質(zhì)上是一個(gè)邊值問題，需要利用傅里葉級(jí)數(shù)展開的方法來求解，展開的每一項(xiàng)都是滿足邊界條件的一個(gè)模式。

推導(dǎo)空氣中聲音的波動(dòng)方程：縱波與密度波

在聲波方程的推導(dǎo)中，為了突出基本原理而避免陷入太瑣碎的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)，本次課程只考慮了一維的情形，并且作了和琴弦類似的假設(shè)：靜態(tài)時(shí)處于x位置的空氣質(zhì)點(diǎn)在聲音過來時(shí)的位置偏移u(x,t)比較小，并且對(duì)空間坐標(biāo)x的偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)小于1。

張朝陽介紹，聲波是密度波，是一種縱波，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與傳播方向平行，因此不像琴弦振動(dòng)那樣直觀。不過，聲波方程在數(shù)學(xué)推導(dǎo)上與琴弦的波動(dòng)方程是比較類似的?？紤]空氣在(x,x+Δx)的“窄片”，“窄片”截面積是A，厚度為Δx。在水平方向上，“窄片”只受到氣體的壓力，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可以得到：

將上式兩端的A消掉，并且將P對(duì)x做泰勒展開，消掉Δx并忽略高階項(xiàng)可以得到：

“是什么引起了壓強(qiáng)的改變呢？答案是密度的改變。”因此，張朝陽轉(zhuǎn)而考慮P對(duì)密度ρ的依賴關(guān)系。假設(shè)沒有聲波時(shí)空氣壓強(qiáng)是P0，密度是ρ0，那么

看到這里大家可能會(huì)疑問，這里P對(duì)密度的偏導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)確定義是什么？根據(jù)理想氣體物態(tài)方程，描述理想氣體的狀態(tài)需要兩個(gè)物理量，而這兩個(gè)量的選取具有任意性，因此必須明確這里P對(duì)ρ的偏導(dǎo)數(shù)是在保持哪個(gè)物理量不變的情況下的偏導(dǎo)數(shù)。對(duì)于這個(gè)問題，張朝陽后續(xù)又進(jìn)行詳細(xì)的解答。

接下來，開始推導(dǎo)Δρ和u的關(guān)系?？紤]靜態(tài)時(shí)處于(x,x+Δx)的空氣“窄片”，橫截面積為A，聲波過來時(shí)，“窄片”兩個(gè)截面的偏移分別是u(x,t)和u(x+Δx,t)，偏移后的“窄片”質(zhì)量不變，因此

截面積可以消掉?？紤]u(x+Δx,t)的泰勒展開，有

代入前一個(gè)式子(消掉A)，并展開可以得到

式中的刪除線表示可以消掉或者忽略掉。左邊的項(xiàng)和右邊第一項(xiàng)互相抵消，由于u對(duì)x的偏導(dǎo)遠(yuǎn)小于1，右邊最后一項(xiàng)遠(yuǎn)小于其他項(xiàng)，因此可以忽略，于是：

根據(jù)前面推導(dǎo)的結(jié)果，有：

代入前面得到的關(guān)于u的方程，就得到了聲音在空氣中的波動(dòng)方程：

聲速計(jì)算要考慮絕熱近似 牛頓曾經(jīng)在這里栽過跟頭

得到波動(dòng)方程之后，張朝陽開始解釋如何理解其中P對(duì)ρ的偏導(dǎo)數(shù)。首先，相對(duì)于聲波導(dǎo)致的快速壓縮和膨脹，空氣的熱傳導(dǎo)過程是非常緩慢的。在空氣的一個(gè)振動(dòng)周期里，熱的傳導(dǎo)幾乎可以忽略，因此可以把空氣振動(dòng)導(dǎo)致的壓縮和膨脹看成是絕熱過程，這就是絕熱近似。

張朝陽介紹，牛頓曾經(jīng)在這里栽過跟頭。牛頓當(dāng)時(shí)也得到了聲波的波動(dòng)方程，只不過因?yàn)閷?duì)聲音導(dǎo)致的空氣壓縮膨脹過程認(rèn)識(shí)不足，錯(cuò)誤地以為是等溫過程?；氐秸}，在絕熱近似下，波動(dòng)方程中P對(duì)ρ的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)該理解為絕熱條件下的偏導(dǎo)數(shù)。

他進(jìn)一步解釋說，因?yàn)檫@里考慮的聲音振幅很小，相對(duì)于空氣的振動(dòng)來說，空氣微元內(nèi)恢復(fù)平衡的速度非?？欤虼丝梢约僭O(shè)在空間的每一處空氣都滿足理想氣體狀態(tài)方程。這個(gè)近似就是準(zhǔn)靜態(tài)近似。正因?yàn)檫@個(gè)近似，這里對(duì)聲速的推導(dǎo)將不適用于特別稀薄的空氣。

在準(zhǔn)靜態(tài)近似下，可以使用理想氣體的平衡態(tài)性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)。這樣就有：

其中U是空氣內(nèi)能，因子5/2來自于能量均分定理。能量均分定理，每個(gè)自由度貢獻(xiàn)NkT/2的內(nèi)能，空氣中大部分是氮?dú)夂脱鯕?，都是雙原子分子，具有3個(gè)平動(dòng)自由度和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。在室溫下，振動(dòng)自由度沒有被激發(fā)。所以一共是5個(gè)自由度，故因子為5/2。定義γ使得γ-1=2/5。在這里，γ=7/5=1.4。于是

根據(jù)熱力學(xué)第一定律

在絕熱過程中有：

其中C為常數(shù)。由于密度和體積呈反比關(guān)系，所以P正比于ρ^γ，設(shè)比例常數(shù)為B，于是在絕熱過程下

代入理想氣體物態(tài)方程可得：

其中m上加一橫表示空氣的平均分子質(zhì)量。所以，空氣中聲波的波動(dòng)方程為：

在室溫20℃，即約293 K，相應(yīng)的聲速為

其中m_m表示空氣以g為單位的摩爾質(zhì)量。這個(gè)數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的聲速非常接近。另外，還可以知道聲速只與溫度有關(guān)，而與聲音的頻率無關(guān)。

“這是一個(gè)令人震撼的結(jié)果。”張朝陽說，波動(dòng)方程的出發(fā)點(diǎn)僅僅是牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，再考慮理想氣體物態(tài)方程，就可以得到與實(shí)驗(yàn)值非常接近的計(jì)算值，不得不說計(jì)算的力量是強(qiáng)大的。

解釋太陽能量源于核聚變 估算太陽壽命約為百億年

在課程后半段的互動(dòng)環(huán)節(jié)，有同學(xué)提問關(guān)于太陽壽命的問題，于是張朝陽對(duì)太陽的能量來源以及如何估算太陽壽命進(jìn)行了解答。

他介紹，太陽內(nèi)部有一個(gè)核心，太陽大部分的質(zhì)量都集中在核心。核心內(nèi)部溫度非常高，約為1000萬開爾文。太陽的能量來源是核心處的核聚變，比如氫聚變成氦。由于氫核帶正電，氫核之間存在庫侖排斥力，因此存在勢(shì)壘。但是強(qiáng)相互作用會(huì)使得氫核在靠得特別近時(shí)會(huì)釋放能量形成新的原子核，也就是說在庫侖勢(shì)壘之內(nèi)有一個(gè)深勢(shì)阱。要想發(fā)生核聚變，氫核必須突破庫侖勢(shì)壘。靜電勢(shì)大小為

以原子核半徑的量級(jí)10^(-15)m來估算庫侖勢(shì)壘高度，得到結(jié)果約為10^(-13)焦耳。再根據(jù)太陽的內(nèi)核溫度，利用kT可以估算內(nèi)核粒子動(dòng)能的量級(jí)為10^(-16)焦耳，這兩個(gè)能量差了3個(gè)量級(jí)。

如果僅僅如此粗略地看，核聚變似乎不會(huì)發(fā)生。那為什么核聚變還是真實(shí)地發(fā)生了呢？可以從兩個(gè)角度來理解：第一個(gè)角度是從經(jīng)典的麥克斯韋速度分布出發(fā)，雖然內(nèi)核粒子的平均動(dòng)能突破不了庫侖勢(shì)壘，但是麥克斯韋速度分布允許更高動(dòng)能粒子的存在，從而提供了穿越庫侖勢(shì)壘的可能；另一個(gè)角度是從量子隧穿出發(fā)，雖然根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，粒子無法穿過勢(shì)壘，但是量子力學(xué)的隧穿效應(yīng)保證了粒子實(shí)際上存在一定概率穿過庫侖勢(shì)壘。這就是對(duì)于為什么能發(fā)生核聚變的定性分析。

知道了太陽的能量來源，就可以估算太陽的壽命了。在太陽內(nèi)部主要發(fā)生的是氫核聚變成氦核，只考慮最初和最末狀態(tài)的話，就是四個(gè)氫核變成一個(gè)氦核，釋放的能量為ΔE=Δmc^2。于是，通過“質(zhì)量虧損”可以計(jì)算得到：聚變產(chǎn)生一個(gè)氦核釋放的能量為0.4×10^(-11)焦耳。

假設(shè)太陽最初全部由氫構(gòu)成，那么可以根據(jù)太陽質(zhì)量估算出有多少氫核。但是，不是所有氫都能聚變成氦，張朝陽在課上假設(shè)能變成氦的氫占比10%，那么可以估算出太陽可以釋放的能量為0.12×10^(45)焦耳。最后，再假設(shè)在太陽整個(gè)生命周期里表面溫度近似不變，于是太陽將以恒定的溫度以黑體輻射的形式向外輻射能量，這樣就可以得到太陽壽命為

代入數(shù)值，并轉(zhuǎn)化為以年為單位，可以得到太陽壽命約為100億年。目前太陽已經(jīng)燃燒了50億年，剩余壽命大約還剩50億年。在太陽的末期，太陽將會(huì)膨脹成為紅巨星，會(huì)把周圍的很多行星甚至可能包括地球都吞噬掉。

宇宙大爆炸理論的兩個(gè)證據(jù)：哈勃紅移和微波背景輻射

對(duì)于現(xiàn)場(chǎng)同學(xué)們感興趣的宇宙大爆炸問題，張朝陽介紹了支持宇宙大爆炸理論的兩個(gè)觀測(cè)證據(jù)，分別是哈勃紅移和微波背景輻射。

根據(jù)光的多普勒效應(yīng)，以速度u遠(yuǎn)離地球而去的恒星，其光譜會(huì)發(fā)生偏移。(u<0表示恒星向我們靠近)，從這個(gè)恒星上發(fā)出頻率為ν0的光，而被地球接收到的頻率為

假如u遠(yuǎn)小于光速c，那么進(jìn)行泰勒展開并忽略高階項(xiàng)，可以得到頻率改變量Δν=ν-ν0滿足

相應(yīng)的波長(zhǎng)變化量是

于是利用這個(gè)公式，根據(jù)恒星的光譜移動(dòng)，就可以計(jì)算出恒星遠(yuǎn)離地球的速度。哈勃當(dāng)年觀測(cè)了很多恒星的頻移，發(fā)現(xiàn)絕大部分都是紅移，而且恒星遠(yuǎn)離地球的速度與恒星相對(duì)地球的距離成正比。盡管哈勃發(fā)現(xiàn)宇宙膨脹在先、大爆炸理論提出在后，然而從邏輯上來看，哈勃紅移是大爆炸理論的一個(gè)結(jié)果，因此可以作為大爆炸理論的一個(gè)實(shí)驗(yàn)證據(jù)。

根據(jù)大爆炸的理論模型，宇宙從最初的極高溫，經(jīng)過膨脹而不斷冷卻，最后變成了現(xiàn)在這個(gè)樣子。期間，物質(zhì)的形成也是由宇宙溫度降低所導(dǎo)致的。當(dāng)宇宙溫度降低時(shí)，夸克這些粒子會(huì)禁閉成重子。大部分重子是不穩(wěn)定的，最后會(huì)變成質(zhì)子和中子。中子壽命比較長(zhǎng)，會(huì)衰變成質(zhì)子和電子，外加一個(gè)反中微子。

不過這個(gè)過程是可逆的，最終會(huì)形成平衡，導(dǎo)致有一個(gè)不為零的中子豐度。當(dāng)溫度繼續(xù)降低，直到光子能量不足以打破原子核時(shí)，這些中子、質(zhì)子將會(huì)通過核聚變成為穩(wěn)定的原子核，這個(gè)過程被稱為“原初核合成”。但是因?yàn)闇囟纫廊缓芨撸镔|(zhì)以離子形態(tài)存在，光子和這些帶電粒子存在相互作用，從而導(dǎo)致宇宙是“不透明”的。

到了大約38萬年的時(shí)候，溫度已經(jīng)進(jìn)一步下降，電子與原子核開始結(jié)合成原子，并會(huì)釋放出光子，這時(shí)候宇宙中的粒子大部分都是電中性的了，光子可以在宇宙中幾乎暢通無阻。這個(gè)時(shí)期就是光退耦時(shí)期，光子不再與物質(zhì)有大量的熱交換，而主要以黑體輻射的形式存在，隨著宇宙膨脹其溫度不斷下降。直到今天，這部分光子，也就是目前所說的微波背景輻射，對(duì)應(yīng)的等效黑體溫度大約為2.7開爾文。

介紹完黑體輻射的形成，張朝陽還根據(jù)黑體輻射的性質(zhì)計(jì)算了微波背景輻射的峰值頻率，約為168 GHz。與哈勃紅移一樣，微波背景輻射的發(fā)現(xiàn)也比大爆炸的理論提出要早，不過同樣可以將微波背景輻射看作是大爆炸理論的實(shí)驗(yàn)證據(jù)。

據(jù)了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日12時(shí)在搜狐視頻直播，網(wǎng)友可以在搜狐視頻“關(guān)注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放。